Losimu teorija

 Portfelio uzdavinys

1997-98m.

Tatjana Dulinskiene   Dainius Dulinskas

Turinys

1.DarboUzduotis

2.Uzduoties analize

3.Teorine dalis

4.Algoritmai

5.Duomenys

6.Rezultatai

7.ProgramosTekstas

8.Isvados

Darbo uzduotis
Sudaryti programa, kuri realizuotu "portfelio" uzdavinio skaiciavimus. Si programa turi surasti optimalu investicini varianta pagal turimus banku patikimumo, palukanu ir kitus rodiklius. Skaiciavimus atlikti naudojant tikslu ir Monte Karlo metodus.

Turinys

Uzduoties analize
Portfelio uzdavinio tikslas yra maksimizuoti vidutini naudinguma, gaunama is optimalaus turimo kapitalo paskirstymo tarp keliu objektu su nepatikimais parametrais. Kitais zodziais tariant, turime tam tikra suma pinigu, kuria norime investuoti, taip pat ivairius banku rodiklius ir norime gauti atsakyma i klausima: "I kuri banka ianvestuoti turimus pinigus taip, kad butu gautas maksimalus rezultatas atsizvelgiant i banko siulomu palukanu dydi ir i banko patikimuma, kuris randamas is turimu banko rodikliu?"

Rezultatas gali buti vienas bankas, o taip pat ir keli bankai, tarp kuriu turesiu paskirstyti savo turima pinigu suma.

Rodikliai, i kuriuos turi buti atsizvelgta nagrinejant si uzdavini yra:

Atsizvelgiant i konkrecia siandienos situacija Lietuvoje, pagrindiniais rodikliais reiketu laikyti banko patikimuma ir investuotojo rizikos laipsni. Taip yra todel, kad visi bankai siulo panasias palukanas ir, tarkime, ivestas 25000Lt draudimas yra didesnis uz musu turima investuojama suma (tai priimame tam, kad supaprastintume skaiciavimus).

Turinys

Teorine dalis
Kaip jau buvo mineta uzduoties analizeje, turime tam tikra suma pinigu, kuria pavadinsime vienetu. Ja investuojame i skirtingus objektus (galime objektus santykinai pavadinti bankais). Pazymekime i i-taji banka investuojama suma kintamuoju xi. Palukanas pazymekime kintamuoju ai, o tiketina pelna kintamuoju zi, kur zi=a ixi, o a i=1+ai. Banko patikimuma zymesime pi, o tikimybe, kad bankas nesubankrutuos - qi. Naudingumo funkcija pazymekime U(z).

Tuomet, musu tikslas yra max U(z), kai S xi=1 ir xi³ 0.

U(z)=Eu(z)= S pia ixi.

kur p(z) naudingumo z tankio tikimybe.

Darbe skaiciavimus atliksime dviem metodais: Tiksliu ir Monte Karlo. Pirmojo esme yra ta, kad darbo eigoje perziurimos visos galimos banku bankrutavimo ir nebankrutavimo kombinacijos ir is gautu variantu atsakymui pateikiamas tas, kuris duoda geriausia rezultata. Kaip metodo trukuma, reiketu pamineti skaiciavimu apimtis, kurios isauga nagrinejant didesni banku skaiciu. Monte Karlo metodo esme yra ta, kad atsitiktinai generuojame kiekvieno banko bankrutavimo tikimybe ir skaiciuojame gautus rezultatus. Tokiu budu, sis metodas negarantuoja, kad rasime optimalu sprendini, taciau cia mes galime pasirinkti skaiciavimu apimtis pagal turimus resursus ir nagrinejama banku skaiciu. Tai yra, cia mes pasirenkame priimtina iteraciju skaiciu.

Turinys

Algoritmai
Trumpai apzvelgsime abieju metodu algoritmus:

Monte Karlo metodas:
1. Generuojamas atsitiktinis skaičius t is intervalo [0..1].
2. Apskaiciuojama a , kai a 0, jei t yra intervale [0..p] ir a =0, jei t priklauso intervalui (p..1].
3. Apskaiciuojama z reiksme, kai z=S a x, pagal visus bankus.
4. Pasinaudodami naudingumo funkcija randame U=u(z).
5. Pirmieji 4 zingsniai kartojami K kartu (K - iteraciju skaicius).
6. Randame U(x) (U reiksmiu vidurkis) U(x)= S U/K;
7. Pirmieji 6 zingsniai kartojami daug kartu (priklausomai nuo turimu resursu) ir kiekvienos iteracijos metu ieskoma didziausia U(x) reiksme.
Rezultate gauname maksimalu pelna, o taip pat struktura, pagal kuria reikia investuoti pinigus i konkrecius bankus.

Tikslus metodas:
1. Tarkime, kad bankrutuoja visi bankai, isskyrus pirmaji. Tuomet sio ivykio tikimybe yra P1=p1*P (1-pi), i=2..m. Siuo atveju gauta pinigu suma bus z1=a 1*x1.
2. Antrasis atvejas - bankrutuoja visi bankai, isskyrus du pirmuosius. Tuomet P2=p1* p2*P (1-pi), i=3..m. Ir gauta pinigu suma z2=a 1*x1+a 2*x2.
3. Perziurime visus galimus banku bankrutavimo ir islikimo variantus, t.y. atliekame pilna perrinkima.

Abiem atvejais mes privalome ivertinti ne tik grynus pinigus, bet ir naudinguma, kuri gaus kiekvienas investuotojas. Gautas pinigu kiekis ne visada yra tiesiog proporcingas gautam naudingumui. Tai paaiskina ir si naudingumo funkciju diagrama, vaizduojanti kelias investuotoju naudingumo funkcijas. Naudingumo funkcija parodo santyki tarp gauto pinigu kiekio ir naudingumo.

Kaip matome, diagramoje yra santykinai isskirtos naudingumo funkcijos ir pavadintos atitinkamais pavadinimais. Tai "Turtingo", "Atsargaus" ir "Rizikuojancio" investuotoju naudingumo funkcijos. Kaip apibendrinta pateikta "Reali" naudingumo funkcija, kuri atspindi daugumos poziuri i pinigus, t.y. esant mazoms sumoms visi yra labiau linke i rizika, o sumoms didejant daromes atsargesni. Tai rodo bruksnine kreive.

Turinys

Duomenys
Visi programoje naudoti duomenys yra saugomi duomenu faile DUOMENYS.DAT. Pateiksime sio failo pavyzdi:


//Skaiciavimo_metodas:__1-MonteKarlo__2-Tikslus
1
//Naudingumo_funkcija
p00: 0.0
p05: 0.25
p10: 0.5
p15: 0.75
p20: 1.0
//U(z)_reiksme__1-U(z)=z__2-U(z)-is grafiko
1
//Duomenys_apie_bankus:_patikimumas_ir_palukanos
Vilniaus 0.999 0.076
Siauliu 0.893 0.10
Hermis 0.911 0.0901
Litimpeks 0.750 0.08
Ukio 0.768 0.12

  Kaip matome is sio failo strukturos ir is komentaru galime pasirinkti skaiciavimo metoda (Monte Karlo arba tikslus), apibrezti naudingumo funkcija naudojant kintamuosius p00..p20 (anksciau pavaizduotas NaudingumofunkcijosGrafikas). Taip pat nustatome, kaip interpretuosime naudinguma: pagal mineta naudingumo funkcija ar laikysime, kad gautas naudingumas yra tiesiog proporcingas gautam pinigu kiekiui. Failo pabaigoje pateikiami duomenys apie bankus: banko patikimumas ir metine palukanu norma nedidelems sumoms (iki 10000 Lt).

Nustatant banku patikimuma ir palukanas buvo remtasi duomenimis is INTERNET'o. Pateikiame pagrindinis duomenu saltinius, kuriais remiantis buvo vertinami banku patikimumai.

Siauliu banko rodikliai

http://www.siauliai.aiva.lt/sb/report96.html

Litimpeks banko rodikliai

http://www.litimpeks.lt/q3.html

Vilniaus banko rodikliai

http://www.omnitel.net/vb/rodikliai.html

Ukio banko rodikliai

http://ukiobankas.online.lt/balance.htm

Hermio banko rodikliai

http://www.hermis.ot.lt/rodikl.htm

Snoro banko rodikliai

http://www.snoras.com/annual/1996/financial.html

Medicinos banko rodikliai

http://www.aiva.lt/medbank/about.htm

Bendra banku apzvalgos lentele

http://www.snoras.com/annual/1996/outlook.html

Visu Lietuvos banku ir kredito uniju sarasas

http://www.lbank.lt/lbx.htm

Kadangi tik kai kur buvo pateikti fragmentiniai 1997 metu duomenys, tai pagrindiniu saltiniu buvo Snoro banko tinklapyje pateikta visu banku apzvalgos lentele. Joje yra 1997.01.01 dienos duomenys. Naudotis kituose bankuose pateiktais duomenimis galima, taciau sunku juos apibendrinti, kadangi pateikti skirtingi rodikliai bei laikotarpiai. Netgi ir to paties rodiklio reiksmes uz ta pati laikotarpi skirtinguose tinklapiuose skirtingos. Be to, kai kurie bankai siuo metu jau yra bankrutave (Vakaru, Tauro, LAIB).

Zemiau pateikiame pagrindine lentele:

Komercinis
bankas

Turtas,
mln. Lt

Registruotas
akcinis
kapitalas,
mln. Lt

Paskolos,
mln. Lt

Paskolu
ir turto
santykis,
%

Indeliai,
mln. Lt

Gyventoju
indeliai,
mln. Lt

Pelnas,
mln. Lt

Dividendai

Vilniaus

937.0

102.0

409.7

43.7

639.4

101.6

24.4

1.30%

Snoras

551.9

20.0

116.0

21.0

285.0

41.7

12.7

56%

Hermis

540.9

67.0

218.1

40.3

413.9

47.9

27.4

7% ir 10%

Litimpeks

217.3

41.1

125.6

57.8

144.8

28.4

-6.4

-

Ukio

212.6

42.0

148.2

69.7

145.2

46.5

-7.7

-

Siauliu

72.0

20.0

42.2

58.6

42.3

12.1

3.9

-

Medicinos

47.8

21.4

29.9

62.6

35.3

1.7

-10.1

-

Valstybiniai
bankai

 

 

 

 

 

 

 

 

LZUB

1389.3

128.0

1083.9

78.0

728.6

218.3

25.5

-

LTB

1183.2

40.0

505.0

42.7

1032.5

888.0

30.0

7%

LVKB

849.0

165.0

616.7

72.6

545.0

80.9

-172.7

-

Bankrutave
bankai

 

 

 

 

 

 

 

 

Tauro

236.7

36.0

136.5

57.7

158.7

24.7

10.6

-

Vakaru

123.9

3.5

148.9

120.2

145.3

21.2

 

 

LAIB

219.7

-

354.3

161.3

358.1

144.5

 

 

 

Musu nuomone, pagrindinis sios lenteles trukumas yra tas, kad pateikti tik tie rodikliai, kurie tiesiogiai neatspindi banko patikimumo. Pirmiausia truksta likvidaus turto rodiklio. Nors ir nemanome, kad tai yra svarbiausi rodikliai, taciau mes banko patikimumui apskaiciuoti isrinkome siuos rodiklius:

 

 

Paskolu ir turto
santykis

Pelno ir turto
santykis

Gyventoju indeliu
ir turto santykis

Visu indeliu ir
turto santykis

Kliento ispudis

Ri

Bankas

Koef.

Svo-
ri-
nis

Nor-
ma-
lizuo-
tas

Koef.

Svo-
ri-
nis

Nor-
ma-
lizuo-
tas

Koef.

Svo-
ri-
nis

Nor-
ma-
lizuo-
tas

Koef.

Svo-
ri-
nis

Nor-
ma-
lizuo-
tas

Koef.

Svo-
ri-
nis

Nor-
ma-
lizuo-
tas

-

 

 

0.3

 

 

0.24

 

 

0.25

 

 

0.2

 

 

0.01

 

 

Vilniaus

0.43

0.13

0.14

0.03

0.01

0.20

0.11

0.03

0.13

0.68

0.14

0.15

0.80

0.008

0.18

0.79

Snoras

0.21

0.06

0.07

0.02

0.00

0.13

0.08

0.02

0.10

0.52

0.10

0.11

0.60

0.006

0.13

0.54

Hermis

0.40

0.12

0.13

0.05

0.01

0.33

0.09

0.02

0.11

0.77

0.15

0.17

0.90

0.009

0.20

0.94

Litimpeks

0.58

0.17

0.19

-0.03

0.00

0.00

0.13

0.03

0.15

0.67

0.13

0.14

0.70

0.007

0.16

0.64

Ukio

0.70

0.21

0.23

-0.04

0.00

0.00

0.22

0.06

0.26

0.68

0.14

0.15

0.90

0.009

0.20

0.83

Siauliu

0.42

0.13

0.14

0.05

0.01

0.33

0.17

0.04

0.20

0.59

0.12

0.13

0.40

0.004

0.09

0.89

Medicinos

0.35

0.11

0.11

-0.21

0.00

0.00

0.04

0.01

0.05

0.74

0.15

0.16

0.20

0.002

0.04

0.36

Viso 

 

0.93

1.00

 

0.04

1.00

 

0.21

1.00

 

0.93

1.00

 

0.047

1.00

 

Pastaba: neigiamas reiksmes prilyginame nuliui (neigiamo pelno atveju).

Lenteleje prie kiekvieno rodiklio pavaizduoti trys stulpeliai:
1. Rodiklio reiksme
2. Rodiklio reiksme ivertinus rodiklio svori
3. Normalizuota svorinio rodiklio reiksme

Svorius parenka ekspertai.

Tolesniame etape pagal lenteleje pateiktus rodikliu reiksmes jas reikia apibendrinti ir apskaiciuoti banko patikimuma. Banko patikimuma galime traktuoti ir kaip tikimybe, kad bankas nesubankrutuos. Si tikimybe randama taip:

Pi=bRi+b0.

Koeficientai b ir b0 randami issprendus lygciu sistema

{

Pmax=bRmax+b0

Pmin=bRmin+b0

kur Rmax=max Ri ir Rmin=min Ri. Ri - tai rodikliu reiksmes ivertinant rodiklio svori.

Atsizvelgiant i bendra banku situacija Lietuvoje siuo metu, priimame, kad tikimybes Pmax ir Pmin turi tokias reiksmes:
Pmax=0.9 ir Pmin=0.5.
Rmin=Rmedicinos=0.36, Rmax=Rhermis=0.94.
Tuomet apskaiciuojame b ir b0 reiksmes: b» 0.69 ir b0» 0.25.

Pagal anksciau mineta formule Pi=bRi+b0 surandame visu banku patikimumus:

 

Ri

Pi

Palukanos, %

Vilniaus

0.79

0.798

7.6

Snoras

0.54

0.624

9.01

Hermis

0.94

0.896

9.01

Litimpeks

0.64

0.693

8

Ukio

0.83

0.826

12

Siauliu

0.89

0.862

10

Medicinos

0.36

0.501

9.01

Valst. obligacijos

-

1

5

Programoje taip pat buvo ivestos valstybines obligacijos. Ju patikimumas yra vienetas, t.y. valstybe butinai jas ispirks is ju savininku po tam tikro laikotarpio. Palukanu normos nepavyko suzinoti. Ji parinkta remiantis tokiais samprotavimais: pries metus banku palukanos buvo 12-15%, o obligaciju - 7-14% (priklausomai nuo laikotarpio). Jei islaikysime ta pacia tendencija, tai obligaciju palukanu norma siuo metu turetu buti apie 5%. Visa tai nurodoma duomenu faile DUOMENYS.DAT. Kai kuriu banku palukanos nurodytos 0.901%. Tai reiskia, kad tu banku palukanu nepavyko tiksliai suzinoti ir paimtas vidurkis palyginus su kitais bankais.

Apibendrinant galima pasakyti, kad duomenys yra silpniausia sio uzdavinio vieta. Kadangi kiekvienas vartotojas savaip supranta visus banku rodiklius ir savaip interpretuoja. Be to ne visi nori pasitiketi ekspertu ivertinimu, kuris taip pat yra subjektyvus. Dar vienas aspektas - tai, kad eilinis vartotojas negali gauti pilnos informacijos.
Atsizvelgiant i tai, realizuotoje programoje kiekvienas gali perskaiciuoti banko patikimumus savo nuoziura ir gautus rezultatus irasyti i duomenu faila DUOMENYS.DAT. Taciau tai tiesiogiai atsilieps galutiniam rezultatui ir rezultato patikimumui. 

Turinys

Rezultatai
Skaiciavimuose buvo priimta, kad investuojama suma lygi 10,000 LT, optimizuojant buvo naudotasi BAYES1 globaliu optimizavimo metodu, kuris buvo atliekamas 300 kartu. Galimos kintamuju X reiksmes is intervalo [0..1]. Skaiciuojant Monte Karlo metodu, vidinis iretaciju skaicius buvo parinktas 50,000.

Skaiciavimai buvo atliekami naudojant visas keturias investavimo strategijas, kurios atitinka anksciau pavaizduotas naudingumo funkcijas (NaudingumofunkcijosGrafikas). Tam buvo parinktos tikios kintamuju p00..p20 reiksmes duomenu faile DUOMENYS.DAT:

Strategija

p00

p05

p10

p15

p20

"Atsargi"

0

0.6

0.75

0.85

1

"Turtinga"

0

0.25

0.5

0.75

1

"Rizikuojanti"

0

0.1

0.2

0.5

1

"Reali"

0

0.1

0.5

0.85

1

Toliau visus skaiciavimu rezultatus pateiksime lenteliu ir grafiku pavidalu.

Salia strategiju pateikiami naudingumo funkciju rezultatai. Prie strategijos pirmajame stulpelyje pavaizduota gauta kintamojo xi reiksme, o antrajame - pinigu suma, kuria reikia investuoti i i-taji banka.

1. Rezultatai, gauti skaiciavimus atlikus "Tiksliu" metodu panaudojant naudingumo funkcijas.

Atsargi-0.87

Turtinga-0.72

Rizikuojanti-0.44

Reali-0.74

Vilniaus

0.12

364

0.033

117

0.12

364

0.51

1455

Snoras

0.037

112

0.0095

34

0.037

112

0.043

123

Hermis

0.56

1698

0.49

1730

0.56

1698

0.71

2026

Litimpeks

0.23

698

0.12

424

0.23

698

0.079

225

Ukio

0.53

1607

0.64

2259

0.53

1607

0.78

2226

Siauliu

0.86

2608

0.68

2401

0.86

2608

0.41

1170

Medicinos

0.00044

1

0.11

388

0.00044

1

0.052

148

V.Obligac.

0.96

2911

0.75

2648

0.96

2911

0.92

2626

Viso

3.29744

10000

2.8325

10000

3.29744

10000

3.504

10000

Grafike pavaizduosime tik pinigine israiska.

2. Rezultatai, gauti skaiciavimus atlikus "Monte Karlo" metodu panaudojant naudingumo funkcijas.

Atsargi-0.87

Turtinga-0.72

Rizikuojanti-0.45

Reali-0.76

Vilniaus

0.42

1168

0.39

1726

0.39

1726

0.39

1726

Snoras

0.044

122

0.0054

24

0.0054

24

0.0054

24

Hermis

0.55

1529

0.5

2213

0.5

2213

0.5

2213

Litimpeks

0.011

31

0.038

168

0.038

168

0.038

168

Ukio

0.65

1807

0.13

575

0.13

575

0.13

575

Siauliu

0.91

2530

0.17

752

0.17

752

0.17

752

Medicinos

0.052

145

0.036

159

0.036

159

0.036

159

V.Obligac.

0.96

2669

0.99

4382

0.99

4382

0.99

4382

Viso

3.597

10000

2.2594

10000

2.2594

10000

2.2594

10000

Grafike pavaizduosime tik pinigine israiska.

3. Rezultatai, gauti skaiciavimus atlikus "Monte Karlo" ir 'Tiksliu" metodais, kai naudingumas yra lygus gautai pinigu sumai.

Tikslus-10539

MonteKarlo-10543

Vilniaus

0.02

69

0.045

200

Snoras

0.082

281

0.068

302

Hermis

0.93

3191

0.36

1600

Litimpeks

0.05

172

0.022

98

Ukio

0.39

1338

0.78

3467

Siauliu

0.69

2368

0.67

2978

Medicinos

0.032

110

0.035

156

V.Obligac.

0.72

2471

0.27

1200

Viso

2.914

10000

2.25

10000

Grafike pavaizduosime tik pinigine israiska.

Turinys

Programos tekstas

Pagrindinis programos failas: fi.C

"Header" failas: fi.H

Duomenu failas: DUOMENYS.DAT

Isvados

Kaip jau buvo mineta, esami banku rodikliai atspindi 1997.01.01 dienos padeti. Taip pat pagrindinis minusas yra tas, kad visi skaiciavimai remiasi tik kai kuriais paskelbtais rodikliais tarp kuriu nera tokiu, kaip likvidus turtas, "blogos" paskolos ir pan. Tai paaiskina gana prastus Vilniaus ir ypac Snoro banku rezultatus, nors sie bankai laikomi vienais patikimiausiu Lietuvoje.

Jei perzvelgsime visus pateiktus grafikus ir lenteles, pamatysime, kad jose neisryskeja viena bendra tendencija, kuria remiantis galetume patarti visiems investuosojams investuoti pinigus i viena ar kita banka. Vienas bendras bruozas - tai Litimpeks, Snoro ir Medicinos banku prasti rezultatai.

Jei nagrinesime tik gautus naudingumus, matysime, kad labiausia "islosia" atsargieji. Ju naudingumo funkcija siekia 0.87. Tuo trapu rizikuojantiems naudingumas ti 0.44. Tuo tarpu "realioji" ir "turtingoji" naudingumu funkcijos beveik sutampa.

Lyginant "Tiksliu" ir "Monte Karlo" metodais gautas naudingumo funkcijas matome, kad jos beveik sutampa. taciau pinigu paskirstymas yra gana ivairus. Abiem atvejais pirmauja valstybines obligacijos, nors pirmuoju atveju su jomis konkuruoja Siauliu, Hermio ir Ukio bankai.

Jei nagrineti "atsargius" investuotojus, tai matysime, kad jie daugiausia renkasi patikimesnius bankus, o tuo tarpu i nepatikimiausia Medicinos banka investuotu tik apie 0.01% nuo visos sumos. Cia daugiausia pinigu bus investuota i Siauliu banka. "Rizikuojantys" taip pat nelabai linke investuoti i Medicinos banka, taciau Litimpeks jiems yra gana patrauklus atsizvelgiant i jo patikimuma.